準備
Tr[AB]=AijBji=BjiAij=Tr[BA]
Tr[AB]=∫dψ⟨ψ∣AB∣ψ⟩=∫dψ⟨ψ∣A(∫dψ′∣ψ′⟩⟨ψ′∣)B∣ψ⟩=∫dψ∫dψ′⟨ψ∣A∣ψ′⟩⟨ψ′∣B∣ψ⟩=∫dψ′∫dψ⟨ψ′∣B∣ψ⟩⟨ψ∣A∣ψ′⟩=∫dψ′⟨ψ′∣B(∫dψ∣ψ⟩⟨ψ∣)A∣ψ′⟩=∫dψ′⟨ψ′∣BA∣ψ′⟩=Tr[BA]
⟨AB⟩eq=ψ∑⟨ψ∣ABπ∣ψ⟩=Tr[ABπ]=Tr[πAB] (∵トレースの循環性)=Tr[BπA] (∵トレースの循環性)=Tr[πBA] (ie.=⟨BA⟩eq)
- Hが時間に陽に依存しない場合の、時間発展演算子U(t)
U(t)=e−hiHtU(t)†=U(t)−1=ehiHt
A(t)A˙(t)=U(t)†AU(t)=dtd(U(t)†AU(t))=U(t)†ℏiHAU(t)−U(t)†AℏiHU(t)=U(t)†ℏi[H,A]U(t)=U(t)†A˙U(t)
- Hが時間に陽に依存する場合の、時間発展演算子U(t)
iℏ∂t∂∣ψ(t)⟩∴iℏ∂t∂U(t)∴U(t+Δt)=H(t)∣ψ(t)⟩=H(t)U(t)=(I−ℏiH(t)Δt)U(t)
逐次積分
U(Δt)U(2Δt)⋯U(nΔt)∴U(τ)=(I−ℏiH(0)Δt)U(0)=(I−ℏiH(0)Δt)=(I−ℏiH(Δt)Δt)U(Δt)=(I−ℏiH(Δt)Δt)(I−ℏiH(0)Δt)=i∏n(I−ℏiH(iΔt)Δt)=n→∞limi∏n(I−ℏiH(niτ)nτ)=I−ℏi∫0τdtH(t)+(ℏi)2∫τ′τdt∫0τ′dt′H(dt)H(dt′)+⋯:=exp←(−ℏi∫0τHdt) (時間順序指数)
古典系
⟨A(t)⟩eq:=⟨eL0†tA⟩eq=∫dΓ(eL0†tA)π=∫dΓAeL0tπ=∫dΓAπ(−t)=∫dΓAπ=⟨A⟩eq
量子系
⟨P−1AP⟩eq=Tr[P−1AP]=Tr[APP−1]=Tr[A]=⟨A⟩eq
⟨A(t)⟩eq=⟨Ut†AUt⟩eq=⟨A⟩eq (∵Utがユニタリ)
⟨A(t)B(τ)⟩eq=⟨Ut†AUtUτ†BUτ⟩eq=⟨AUtUτ†B(τ−t)UτUt†⟩eq=⟨AU(τ−t)†B(τ−t)U(τ−t)⟩eq=⟨AB(τ−t)⟩eq
- 微分が入った時間相関関数 ⋯(公式1)
⟨B˙(τ)A(t)⟩eq=⟨(dτdB(τ))A(t)⟩eq=dτd⟨B(τ)A(t)⟩eq=dτd⟨BA(t−τ)⟩eq=−dtd⟨BA(t−τ)⟩eq=−⟨BA˙(t−τ)⟩eq
2.2 古典粒子系に対する揺動散逸定理 (続き)
応答関数を計算するときは、系が平衡状態(H=Htot)のときを考えればいよい。
α+O(ϵ):=ϕx˙x(t;Htot−ϵxF(t))α=ϕx˙x(t;Htot−ϵxF(t))ϵ=0=ϕx˙x(t;Htot)
⟨x˙(τ)⟩≃ϵ∫−∞τdtF(t)ϕx˙x(τ−t;Htot−ϵxF(t))=ϵ∫−∞τdtF(t)(α+O(ϵ))≃ϵ∫−∞τdtF(t)α=ϵ∫−∞τdtF(t)ϕx˙x(τ−t;Htot)
応答関数 ϕx˙x
x˙(t)=eL0†tx˙=eL0†tL0†x=dtdeL0†tx=dtdx(t)
ϕx˙x(τ−t):=β⟨x˙(τ−t)x˙⟩eq=β⟨x˙(τ)x˙(t)⟩eq=β⟨x˙(τ)dtdx(t)⟩eq=βdtd⟨x˙(τ)x(t)⟩eq
長時間後に一定になった速度 ⋯(2.11)
F0⟨x˙(τ)⟩∴F0⟨x˙(τ)⟩eq=∫−∞τdtϕx˙x(τ−t)=∫0∞dtϕx˙x(t) (t⇒τ−t)=β∫0∞dt⟨x˙(t)x˙⟩eq=F0⟨x˙⟩eq=β∫0∞dt⟨x˙(t)x˙⟩eq
ランジュバン方程式でのμ
mx¨=F−γx˙+ξ
m⟨x¨⟩∴F∴F⟨x˙⟩=F−γ⟨x˙⟩+⟨ξ⟩=γ⟨x˙⟩ (∵速度一定)=μ=2kBT1∫−∞∞ds⟨x˙(s)x˙⟩ (ref. (1.12))
パルス入力に対する応答 ⋯(2.12)
F(t)=F0δ(t−t′)
⟨x˙(τ)⟩=ϵ∫−∞τdtF(t)ϕxx˙(τ−t)=ϵ∫−∞τdtF0δ(t−t′)ϕxx˙(τ−t)=ϵF(0)ϕxx˙(τ−t′) (τ≥t′)
フーリエ表示の揺動散逸定理 ⋯(2.15)
χx˙x(ω)=χ(ω)′+iχ(ω)′′
χ(ω)′=Re[∫0∞dtβ⟨x˙(t)x˙⟩eqeiωt]=β∫0∞dtC(t)Re[eiωt]=β∫0∞dtC(t)cos(ωt)=2β∫0∞dtC(t)(eiωt+e−iωt)=2β(∫0∞dtC(t)eiωt−∫0∞(−dt)C(−t)e−iωt)=2β(∫0∞dtC(t)eiωt+∫−∞0dtC(t)eiωt)=2βC(ω)
2.2 線形応答理論
§ 2.2.1 力学応答の線形応答
Htot(t)=H−BF(t)
タイプ 1
A∝B
タイプ 2
A∝B˙
§ 2.2.1.1 一般論
時間発展演算子 ⋯(2.18)
iℏ∂t∂U(t)Uˉ(t)=[H−FB]U(t):=eℏiHtU(t)
∂t∂Uˉ(t)=ℏiHUˉ(t)−ℏieℏiHt[H−F(t)B]U(t)=ℏieℏiHtF(t)BU(t)=ℏiF(t)(eℏiHtBe−ℏiHt)eℏiHtU(t)=F(t)B(t)Uˉ(t)
[note] Fについて一次の近似を考えるので、B の時間発展を考える時は、Fを考慮せず平衡状態のハミルトニアンで時間発展すると考えて良い。
Uˉ(t+Δt)∴U(t+Δt)∴U(t)=(I+ℏiF(t)B(t)Δt)Uˉ(t)=e−ℏiH(t+Δt)(I+ℏiF(t)B(t)Δt)eℏiHtU(t)=e−ℏiHti∏n(e−ℏiHΔt(I+ℏiF(iΔt)B(iΔt)Δt))eℏiHt0→e−ℏiHtexp←(ℏi∫t0tdt′F(t′)B(t′))eℏiHt0 (Δt→0)
U(t)=e−ℏiHti∏n(e−ℏiHΔt(I+ℏiF(iΔt)B(iΔt)Δt))eℏiHt0=e−ℏiHt(e−ℏiHΔt)n[1+i∑n(ℏiF(iΔt)B(iΔt)Δt)]eℏiHt0+O(F2)→e−ℏiHt(1+ℏi∫t0tdt′F(t′)B(t′))eℏiHt0+O(F2)
演算子の期待値の時間発展 ⋯(2.19)
A(τ)=U(τ)†AU(τ)=e−ℏiHt0(1−ℏi∫t0τdt′F(t′)B(t′))eℏiHτAe−ℏiHτ(1+ℏi∫t0τdt′F(t′)B(t′))eℏiHt0+O(F2)=eℏiH(τ−t0)Ae−ℏiH(τ−t0)+e−ℏiHt0[eℏiHτAe−ℏiHτ,ℏi∫t0τdt′F(t′)B(t′)]eℏiHt0+O(F2)=eℏiH(τ−t0)Ae−ℏiH(τ−t0)+ℏi∫t0τdt′F(t′)[A(τ−t0),B(t′−t0)]+O(F2)
[note] Fの一次近似を考えているので、積分の中では非平衡の時間発展と平衡の時間発展を区別する必要がない。
⟨A(τ)⟩eq−⟨A⟩eq=⟨eℏiH(τ−t0)Ae−ℏiH(τ−t0)⟩eq+ℏi∫t0τdt′F(t′)⟨[A(τ−t0),B(t′−t0)]⟩eq−⟨A⟩eq+O(F2)=⟨A⟩eq+ℏi∫t0τdt′F(t′)⟨[A(τ−t′),B]⟩eq−⟨A⟩eq+O(F2)=ℏi∫t0τdt′F(t′)⟨[A(τ−t′),B]⟩eq+O(F2)
十分に時間が経った時の期待値の変化量 ⋯(2.20)
⟨ΔA(τ)⟩eq:=t0→−∞lim⟨A(τ)⟩eq−⟨A⟩eq=ℏi∫−∞τdtF(t)⟨[A(τ−t),B]⟩eq=ℏi∫0∞dtF(τ−t)⟨[A(t),B]⟩eq (t→τ−t)=∫0∞dtϕAB(t)F(τ−t)
量子系の応答関数 ⋯(2.21)
ϕAB(t):=ℏi⟨[A(t),B]⟩eq
⟨ΔA(τ)⟩eq=F0ϕAB(τ) (when. F=F0δ(t))
ϕAB(t)=ℏi⟨[A(t),B]⟩eq=ℏiTr[π[A(t),B]]=ℏi(Tr[πA(t)B]−Tr[πBA(t)])=−iℏ1(−Tr[A(t)Bπ]+Tr[A(t)πB])=iℏ1Tr[A(t)[π,B]]
カノニカル相関 ⋯(2.22)∼(2.27)
⟨X;Y⟩:=β1∫0βduTr[euHXe−uHYπ]=β1∫0βdu(Tr[euHXe−uHYπ])†=β1∫0βduTr[πYe−uHXeuH]=β1∫0βduTr[euHπYe−uHX]=β1∫0βduTr[πeuHYe−uHX]=⟨Y;X⟩
⟨X;Y⟩=β1∫0βdu⟨X(−iℏu)Y⟩eq→⟨XY⟩eq (ℏ→0)
[π,B][π,B]=Z1[e−βH,B]=Z1(e−βHB−Be−βH)=Z1(e−βHBeβH−B)e−βH=Z1[e−uHBeuH]u=0u=βe−βH=Z1∫0βdudud(e−uHBeuH)e−βH=Ziℏ∫0βdud(iℏu)d(eℏiH(iℏu)Be−ℏiH(iℏu))e−βH=Ziℏ∫0βduB˙(iℏu)e−βH=iℏ∫0βduB˙(iℏu)π=Z1e−βH(B−eβHBe−βH)=⋯=iℏπ∫0βduB˙(−iℏu)
ϕAB(t)=iℏ1Tr[A(t)[π,B]]=iℏ1Tr[A(t)iℏ∫0βduB˙(iℏu)π]
ϕAB(t)=iℏ1Tr[A(t)[π,B]]=iℏ1Tr[A(t)iℏ∫0βduB˙(iℏu)π]=∫0βduTr[A(t)B˙(iℏu)π]=∫0βdu⟨A(t)B˙(iℏu)⟩eq=∫0βdu⟨A(t−iℏu)B˙⟩eq=β⟨A(t);B˙⟩=β⟨B˙;A(t)⟩
ϕAB(t)→β⟨A(t)B˙⟩eq (ℏ→0)
複素アドミッタンス ⋯(2.28)
χAB(ω):=∫0∞dtϕAB(t)eiωt=χ′+iχ′′
χAB(−ω)=∫0∞dtϕAB(t)e−iωt=∫0∞dtϕAB(t)(eiωt)∗=(∫0∞dtϕAB(t)eiωt)∗=χAB(ω)∗
演算子の応答 ⋯(2.29)
F(t)=F0cos(ωt)
⟨ΔA(τ)⟩eq=∫0∞dtϕAB(t)F(τ−t)=∫0∞dtϕAB(t)F0cosω(τ−t)=F0∫0∞dtϕAB(t)Re[eiω(τ−t)]=F0Re[∫0∞dtϕAB(t)eiω(τ−t)]=F0Re[∫0∞dtϕAB(t)e−iωteiωτ]=F0Re[χAB(ω)∗eiωτ]=F0Re[χAB(ω)e−iωτ]
§ 2.2.1.2 クラマース・クローニッヒ関係
リーマン・ルベーグの補題
ω→0lim∫0∞dtϕAB(t)eiωt=0 (Im[ω]>0)
I∴2I∴∣2I∣:=∫0∞dtϕAB(t)eiωt=∫−ωπ∞dsϕAB(s+ωπ)eiω(s+ωπ) (s=t−ωπ)=∫−ωπ∞dsϕAB(s+ωπ)eiωseiπ=−(∫0∞dsϕAB(s+ωπ)eiωs+∫−ωπ0dsϕAB(s+ωπ)eiωs)=∫0∞dt(ϕAB(t)−ϕAB(t+ωπ))eiωt−∫−ωπ0dtϕAB(t+ωπ)eiωt≤∫0∞dt(ϕAB(t)−ϕAB(t+ωπ))eiωt+∫−ωπ0dtϕAB(t+ωπ)eiωt≤∫0∞dtϕAB(t)−ϕAB(t+ωπ)eiωt+∫−ωπ0dtϕAB(t+ωπ)eiωt<∫0∞dtϕAB(t)−ϕAB(t+ωπ)+∫−ωπ0dtϕAB(t+ωπ) (∵Im[ω]>0)
∫0∞dtϕAB(t)−ϕAB(t+ωπ)=τ→∞lim∫0τdtϕAB(t)−ϕAB(t+ωπ)≤τ→∞lim∫0τdt(ϕAB(t)+ϕAB(t+ωπ))=2∫0∞dtϕAB(t) (⇒有界かつτについて単調増加)
∴ω→∞lim∣I∣=Δt→0lim21∫0∞dtϕAB(t+Δt)−ϕAB(t)=Δt→0lim21Δt′→0limi∑ϕAB(ti+Δt)−ϕAB(ti)Δt′=Δt→0lim21i∑ϕAB(ti+1)−ϕAB(ti)Δt (Δt′=Δtの条件で極限をとる)≤Δt→0lim21i∑(Mi−mi)Δt=Δt→0lim21(S(Δt)−s(Δt))=0 (∵ϕAB(t)はリーマン可積分)
複素アドミッタンス
χAB(ω)=∫0∞ϕAB(t)eiωt
∫badxx2+ϵ2ϵf(x)=2i1∫badx(x−iϵ1−x+iϵ1)f(x)=2i1∫b−iϵa−iϵdzzf(z+iϵ)+∫a+iϵb+iϵdzzf(z−iϵ)=2i1∮dzzf(z)+O(ϵ)→{πf(0) (原点が積分経路に含まれる)0 (原点が積分経路に含まれない)
∴ϵ→0limx2+ϵ2ϵ=πδ(x)
x−iϵ1=(x−iϵ)(x+iϵ)x+iϵ=x2+ϵ2x+ix2+ϵ2ϵ→Pvx1+iπδ(x)
複素平面に拡張された複素アドミッタンス
2πi1∫−∞∞dω′ω′−zχAB(ω′)={χAB(z) (Im[z]>0)0 (Im[z]<0)
2πi1∫∞∞dω′ω′−(ω+iϵ)χAB(ω′)
2πi1∫−∞∞dω′ω′−(ω+iϵ)χAB(ω′)=2πi1∫∞∞dω′(ω′−ω)−iϵχAB(ω′)→2πi1∫−∞∞dω′(Pvω′−ωχAB(ω′)+iπχAB(ω′)δ(ω′−ω))=2πi1Pv∫−∞∞dω′ω′−ωχAB(ω′)+21χAB(ω)
クラマース・クローニッヒ関係 ⋯(2.30)
χAB(ω)′+iχAB(ω)′′∴χAB(ω)′+iχAB(ω)′′=2πi1Pv∫−∞∞dω′ω′−ωχAB(ω′)′+iχAB(ω′)′′+21(χAB(ω)′+iχAB(ω)′′)=π1Pv∫−∞∞dω′ω′−ω−iχAB(ω′)′+χAB(ω′)′′
χAB(ω)′χAB(ω)′′=π1Pv∫−∞∞dω′ω′−ωχAB(ω′)′′=−π1Pv∫−∞∞dω′ω′−ωχAB(ω′)′
2.2.2 力学応答の揺動散逸定理 (P. 27)
§ 2.2.2.1 パワーロス (P. 27)
Htot=H−BF(t)
タイプ 1
ΔA(t)=B(t)
タイプ 2
ΔA(t)=B˙(t)
一周期あたりの仕事 W ⋯(2.31)
W=∫0ω2πdtdtdF(t)Tr(∂F∂Htotρ(t))=−∫0ω2πdtdtdF(t)⟨B(t)⟩eq (∵∂F∂Htot=−B)
単位時間あたりの仕事P ⋯(2.32)
- タイプ 1 (ΔA(t)=B(t))
P(1)=−2πω∫0ω2πdtdtdF(t)⟨B(t)⟩eq=−2πω∫0ω2πdtdtdF(t)⟨ΔA(t)⟩eq (∵ΔA(t)=B(t))=−2πω∫0ω2πdt(−ω)F0sin(ωt)F0Re[χAB(ω)e−iωt]=2πω2F02Re[χAB(ω)∫0ω2πdtsin(ωt)e−iωt]=2πω2F02Re[χAB(ω)∫0ω2πdt(−i)sin2(ωt)]=2ωF02χAB(ω)′′
- タイプ 2 (ΔA(t)=B˙(t))
P(2)=−2πω∫0ω2πdtdtdF(t)⟨B(t)⟩eq=−2πω[F(t)⟨B(t)⟩eq]0ω2π+2πω∫0ω2πdtF(t)dtd⟨B(t)⟩eq=2πω∫0ω2πdtF(t)⟨B˙(t)⟩eq (∵定常状態の周期性)=2πω∫0ω2πdtF(t)⟨ΔA(t)⟩eq (∵ΔA(t)=B˙(t))=2πω∫0ω2πdtF0cos(ωt)F0Re[χAB(ω)e−iωt]=2πωF02Re[χAB(ω)∫0ω2πdtcos(ωt)e−iωt]=2πωF02Re[χAB(ω)∫0ω2πdtcos2(ωt)]=2F02χAB(ω)′
等温過程応答係数χABT ⋯(2.34)
χABT=∂F0∂Tr[e−β(H−F0B)]Tr[e−β(H−F0B)A]F0→0=Z1{∂F0∂Tr[e−β(H−F0B)A]−⟨A⟩eq∂F0∂Tr[e−β(H−F0B)]}F0→0=Z1{Tr[∫01dye−βH(1−y)(βB)e−βHyA]−⟨A⟩eqTr[∫01dye−βH(1−y)(βB)e−βHy]}=Z1Tr[∫01dye−βH(1−y)(βB)e−βHy(A−⟨A⟩eq)]=Z1Tr[∫0βdue(uH−βH)Be−uH(A−⟨A⟩eq)] (u:=βy)=∫0βduZ1Tr[e−βHeuHBe−uH(A−⟨A⟩eq)]=∫0βdu⟨euHBe−uH(A−⟨A⟩eq)⟩eq=∫0βdu⟨B(−iℏu)(A−⟨A⟩eq)⟩eq (∵euHを時間発展演算子とみなした)=∫0βdu⟨B(A(iℏu)−⟨A⟩eq)⟩eq (∵平衡状態の平均は時間に依存しない)=∫0βdu(⟨BA(iℏu)⟩eq−⟨B⟩eq⟨A⟩eq)=∫0βdu⟨ΔBΔA(iℏu)⟩eq (ref. Cov(xy)=E[xy]−E[x]E[y])
熱力学的応答関数と力学的応答関数の差 ⋯(2.35)
- 力学的応答関数のω→0極限を求める
ω→0limχAB(ω)=ω→0lim∫0∞dtϕAB(t)e−iωt=τ→∞lim∫0τdtϕAB(t)=τ→∞lim∫0τdt∫0βdu⟨B˙(−iℏu)A(t)⟩eq (∵(2.25))=−τ→∞lim∫0τdt∫0βdudtd⟨BA(t+iℏu)⟩eq (∵(公式1))=−∫0βduτ→∞lim[⟨BA(t+iℏu)⟩eq]0τ=∫0βdu(⟨BA(iℏu)⟩eq−τ→∞lim⟨BA(τ+iℏu)⟩eq)
χABT−χAB=∫0βdu⟨ΔBΔA(iℏu)⟩−∫0βdu(⟨BA(iℏu)⟩eq−τ→∞lim⟨BA(τ+iℏu)⟩eq)=∫0βdu(⟨BA(iℏu)⟩eq−⟨B⟩eq⟨A⟩eq)−∫0βdu(⟨BA(iℏu)⟩eq−τ→∞lim⟨BA(τ+iℏu)⟩eq)=∫0βdu(τ→∞lim⟨BA(τ+iℏu)⟩eq−⟨B⟩eq⟨A⟩eq)=τ→∞lim∫0βdu(⟨BA(τ+iℏu)⟩eq−⟨B⟩eq⟨A⟩eq)=τ→∞lim∫0βdu⟨ΔBΔA(τ+iℏu)⟩eq
§ 2.2.2.2 揺動散逸定理 (P. 29)
時間反転
⟨[A(t),B]⟩eq=Tr[π[A(t),B]]=Tr[(Tπ[A(t),B]T†)†]=Tr[[B†,A(−t)†]π†]=−Tr[[A(−t),B]π]=−⟨[A(−t),B]⟩eq
⟨[A(t),B]⟩eq=⟨[B(t),B]⟩eq=⟨[B,B(−t)]⟩eq=−⟨[B(−t),B]⟩eq=−⟨[A(−t),B]⟩eq
- タイプ 2 (A=B˙)
⟨[A(t),B]⟩eq=⟨[B˙(t),B]⟩eq=dtd⟨[B(t),B]⟩eq=dtd⟨[B,B(−t)]⟩eq=−dtd⟨[B(−t),B]⟩eq=⟨[B˙(−t),B]⟩eq=⟨[A(−t),B]⟩eq
応答関数ϕAB
ϕAB(ω)=∫∞∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eqeiωt=∫0∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eq(eiωt−e−iωt)=2i∫0∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eqIm[eiωt]=2iIm[∫0∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eqeiωt]=2iIm[χAB(ω)]=2χAB(ω)′
ϕAB(ω)=∫∞∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eqeiωt=∫0∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eq(eiωt+e−iωt)=2∫0∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eqRe[eiωt]=2Re[∫0∞dtℏi⟨[A(t),B]⟩eqeiωt]=2Re[χAB(ω)]=2χAB(ω)′′
KMS 条件
⟨AB(t+iℏβ)⟩eq=Tr[πAe−βHB(t)eβH]=Z1Tr[e−βHAe−βHB(t)eβH]=Z1Tr[Ae−βHB(t)eβHe−βH]=Z1Tr[Ae−βHB(t)]=Z1Tr[e−βHB(t)A]=⟨B(t)A⟩eq
⟨ΔBΔA(t+iℏβ)⟩eq=⟨ΔA(t)ΔB⟩eq
∫Cdz⟨ΔBΔA(z)⟩eqeiωz∴∫−∞∞dt⟨ΔBΔA(t)⟩eqeiωt=0=∫−∞∞dt⟨ΔBΔA(t+iℏβ)⟩eqeiω(t+iℏβ)=e−ℏβω∫−∞∞dt⟨ΔBΔA(t+iℏβ)⟩eqeiωt=e−ℏβω∫−∞∞dt⟨ΔA(t)ΔB⟩eqeiωt
応答関数ϕAB
[A(t),B]=[ΔA(t)+⟨A⟩eq,ΔB+⟨B⟩eq]=[ΔA(t),ΔB]
- ϕABを変形 (⟨ΔA(t)ΔB⟩eqの形)
ϕAB=ℏi∫−∞∞dt⟨[A(t),B]⟩eqeiωt=ℏi∫−∞∞dt⟨[ΔA(t),ΔB]⟩eqeiωt=ℏi∫−∞∞dt(⟨ΔA(t)ΔB⟩eq−⟨ΔBΔA(t)⟩eq)eiωt=ℏi∫−∞∞dt(⟨ΔA(t)ΔB⟩eq−e−ℏβω⟨ΔA(t)ΔB⟩eq)eiωt=ℏi(1−e−ℏβω)∫−∞∞dt⟨ΔA(t)ΔB⟩eqeiωt
- ϕABを変形 (⟨ΔBΔA(t)⟩eqの形)
ϕAB=ℏi(1−e−ℏβω)∫−∞∞dt⟨ΔA(t)ΔB⟩eqeiωt=(ℏi1−e−ℏβω)∫−∞∞dteℏβω⟨ΔBΔA(t)⟩eqeiωt=ℏi(eℏβω−1)∫−∞∞dt⟨ΔBΔA(t)⟩eqeiωt
- ϕABを変換 (CABの形) ⋯(2.44)
CAB∴ϕAB=∫−∞∞dt21[⟨ΔA(t)ΔB⟩eq+⟨ΔBΔA(t)⟩eq]eiωt=21[∫−∞∞dt⟨ΔA(t)ΔB⟩eqeiωt+∫−∞∞dt⟨ΔBΔA(t)⟩eqeiωt]=21[ℏi(1−e−ℏβω)1ϕAB+ℏi(eℏβω−1)1ϕAB]=2iℏe21ℏβω−e−21ℏβωe21ℏβω+e−21ℏβωϕAB=iω2ℏωcoth(2ℏβω)ϕAB=(2ℏω)coth(2βℏω)iωCAB
散逸とゆらぎの関係
- タイプ 1 の χAB′′ ⋯(2.45)
χAB′′=2i1ϕAB=ℏcoth(2βℏω)1CAB
- タイプ 2 の χAB′ ⋯(2.46)
CAB˙=∫−∞∞dt21[⟨ΔA(t)ΔB˙⟩eq+⟨ΔB˙ΔA(t)⟩eq]eiωt=−∫−∞∞dt21(dtd[⟨ΔA(t)ΔB⟩eq+⟨ΔBΔA(t)⟩eq])eiωt (∵(公式1))=∫−∞∞dt21[⟨ΔA(t)ΔB⟩eq+⟨ΔBΔA(t)⟩eq]dtdeiωt (∵混合性)=iω∫−∞∞dt21[⟨ΔA(t)ΔB⟩eq+⟨ΔBΔA(t)⟩eq]eiωt=iωCAB
χAB′=21ϕAB=ℏωcoth(2βℏω)iωCAB=ℏωcoth(2βℏω)1CAB˙
タイプ 2: ω→0の極限
χAB′=ℏωcoth(2βℏω)1CAB˙→2βℏω2β2βℏω∫−∞∞dtCAB˙(to) (∵coth(x)1=tanh(x)=x+O(x3))=2β∫−∞∞dtCAB˙(t)
2.2.3 分布応答の線形応答と揺動散逸定理 (P. 31)
Htot=Hs+k∑Hk+Hks
分布関数 ρ0
- e−u(G+X) を計算する ⋯(2.53)
σuσˉu:=e−u(G+X):=euGσu
∂u∂σˉu∴σˉβ∴σβ=euGGσu−euG(G+X)σu=−euGXσu=−euGXe−uGσˉu=−X(−iℏu)σˉu=e−∫0βduX(−iℏu)=e−uGe−∫0βduX(−iℏu)
σβσβ∴σβ=e−βGe−∫0βduX(−iℏu)=e−βG(1−∫0βduX(−iℏu))+O(X2)=e−∫0βduX(iℏu)e−uG (∵σβはエルミート)=(1−∫0βduX(iℏu))e−βG+O(X2)≃e−βG−∫0βdu21[e−βGX(−iℏu)+X(iℏu)e−βG]
- Tr[e−u(G+X)]を計算する
Tr[e−u(G+X)]≃Tr[e−βG−∫0βdu21[e−βGX(−iℏu)+X(iℏu)e−βG]]=Tr[e−βG]−∫0βdu21(Tr[e−βGX(−iℏu)]+Tr[X(iℏu)e−βG])=Z−∫0βdu21(Z⟨X(−iℏu)⟩eq+Z⟨X(iℏu)⟩eq)=Z(1−∫0βdu21(⟨X(−iℏu)⟩eq+⟨X(iℏu)⟩eq))
- 分配関数ρ0を計算する ⋯(2.54)
1−x1=1+x+O(x2)
ρ0=Tre−β(G+X)e−β(G+X)≃(e−βG−∫0βdu21[e−βGX(−iℏu)+X(iℏu)e−βG]) Z1(1+∫0βdu21(⟨X(−iℏu)⟩eq+⟨X(iℏu)⟩eq))=(π−∫0βdu21[πX(−iℏu)+X(iℏu)π])(1+∫0βdu21(⟨X(−iℏu)⟩eq+⟨X(iℏu)⟩eq))≃π−∫0βdu21[πX(−iℏu)+X(iℏu)π]+∫0βdu21(π⟨X(−iℏu)⟩eq+⟨X(iℏu)⟩eqπ)=π−∫0βdu21[πΔX(−iℏu)+ΔX(iℏu)π]
演算子の時間発展 ⋯(2.55)
⟨A(τ)⟩eq=Tr[ρ0U†AU]=Tr[AUρ0U†]=Tr[AUπU†]−∫0βdu21(Tr[AUπΔX(−iℏu)U†]+Tr[AUΔX(iℏu)πU†])=Tr[πA]−∫0βdu21(Tr[πΔX(−iℏu−τ)A]+Tr[πAΔX(iℏu−τ)])=⟨A⟩eq−∫0βdu21[⟨ΔX(−iℏu−τ)A⟩eq+⟨AΔX(iℏu−τ)⟩eq]=⟨A⟩eq+∫0βdu∫−τ0dt21[⟨ΔX˙(−iℏu+t)⟩eq+⟨AΔX˙(iℏu+t)⟩eq]−∫0βdu21(⟨ΔX(−iℏu)A⟩eq+⟨AΔX(iℏu)⟩eq)